第2版前言 　　本书自2009年第1版出版后，于2011年出版了与之配套的《实分析与泛函分析习题详解》一书.在过去的10多年时间里，我们收到了来自各方面使用者对这两本书的肯定的评价与宝贵的建议，对此深表谢意.为了适应高层次数学人才培养的需要，在充分吸收反馈意见的基础上，我们按“纸质书+数字化资源”的出版形式对本书第1版进行了修订. 　　第2版保持了《抽象分析基础》第1版的体系与特色，并进行了适当的增删，力求提升可读性与可教性.除订正第1版全书的排印错误与编写中的某些疏漏外，我们进一步细化了一些定理的论证，对推理论证中引用的前述概念与定理标示名称或编号； 考虑到教学时间的限制与自主学习能力的培养，将一些不太适合课堂讲授的内容标注为阅读内容； 将《实分析与泛函分析习题详解》中的内容提要与习题解答以二维码形式增加到每章末，以方便研读者查阅. 　　选用本书时，可考虑适当删减书中部分内容.前4章与5.1节及书后习题适合高年级大学生与硕士研究生，后5章包括书后附加题适合博士研究生. 　　尽管我们在修订时尽了最大努力，但限于学识和经验，书中的疏漏与不当在所难免，恳请各方面使用者批评指正. 　　深切怀念已故的李刚教授并感谢他在本书第1版编著中的指导性工作.感谢作为《实分析与泛函分析习题详解》作者之一的朱杏华教授同意此书内容纳入数字化资源. 　　本书的出版得到了国家自然科学基金(11571176，11701289)的资助，我们表示衷心的感谢！ 　　我们特别感谢清华大学出版社的编辑们对本书的出版付出的辛勤劳动！ 肖建中 王智勇 2022年4月7日于南京信息工程大学 第1版前言 　　自从18世纪Euler的名著《无穷小分析引论》问世以后，数学中的“分析学”专指运用极限过程分析处理问题的数学分支.微积分作为古典分析学的开端从几何和代数的主干上生长出来，数形结合成为这一学科的一个基本特征.将微积分主要创始人的工作思路加以比较是很有意思的： Newton的思路基本上是几何化的，而Leibniz的思路则基本上是代数化的.微积分发展成为严密的数学分析的过程，处处体现了几何思想与代数方法的完美结合.现代分析学是数学分析后继的发展与延伸，必然保持了这一学科的基本特色与风格.空间形式（几何）、数量关系（代数）与极限过程这三者依然是现代分析学的主要讨论对象，在处理方式上体现了分析、代数、几何的高度综合与和谐统一. 　　作为现代分析学的基础分支，实分析与泛函分析诞生于19世纪末到20世纪初.这段时间里，数学的发展出现了空前的抽象化潮流，开始追求理论与方法的一般化，以及结构上的和谐与统一.出现这一潮流有其客观必然性.数学发展到一定程度，不同分支的某些对象之间的相似性被逐步发现，产生了加工、提炼、归纳与总结的内在动因； 集合论的创立与现代公理化方法的完善又为其准备了条件; 同时还受到了来自量子力学、物理学等应用学科的推波助澜.不言而喻，在数学抽象化主流中孕育成熟的实分析与泛函分析都是高度抽象的学科，其抽象程度并不逊色于抽象代数学.实分析与泛函分析这两门学科的基础内容构成本书的主要取材(以泛函分析为重点).虽然两者同以数学分析为发展的源头，但两者的理论发展方向是不同的.实分析可通俗地认为是一般集合论意义上的微积分，侧重于将区间或区域上的连续函数类扩充为可测集上的可测函数类来讨论； 而泛函分析可通俗地认为是无限维空间上的分析学，侧重于将有限维空间上的数形关系与极限过程拓展到无限维空间来讨论.本书更愿意将两者的内容视为统一整体： 前者为后者提供了连续函数空间类与可测函数空间类，Lusin定理是这两类重要的空间之间联系的纽带.泛函分析中涉及的具体空间模型基本上就是这两大类.为了突出空间类的这种整体性，本书借助了点集拓扑与抽象测度的技巧.鉴于上述原因，书名定为《抽象分析基础》也许比较恰当. 　　本书是为数学专业研究生与高年级本科生所编著的教材.根据作者多年教学实践中的感受，一部好的教材，应充分考虑到数学专业研究生与高年级本科生的学习特点，照顾到本科阶段与研究生阶段教学上的衔接，并且能适合学生自学，使学生开卷有益，为进一步探索数学殿堂打开通道.本书在这方面作出了一定努力，注意缩小理论推证方面的跨度，不片面追求篇幅的精短，尽可能避免理论的堆砌，穿插例子与示意图以消除阅读中的枯燥乏味感; 重视数学思想背景与理论形成过程的揭示，重视对已有知识的比较，重视常用的数学方法的提示与归纳.读者应当注意到，这门课程虽然抽象难学，但其中许多概念都能在数学分析、线性代数等熟知的内容中找到雏形.通过与熟知内容的类比、对照等方式来认识理解新概念，符合认知规律，应是值得提倡的学习方法. 　　本书内容是自封闭的，共分为9章.第1章作为全书的引论，讲述点集拓扑与抽象测度的基本概念和性质，其中介绍了两种形式的Urysohn引理.第2章讲述以抽象测度为基础而建立的Lebesgue积分理论，对Stieltjes积分与广义测度作了初步介绍.第3章至第5章为泛函分析基础部分.第3章讲述度量空间、拓扑线性空间、赋范空间、内积空间及其相互关系，介绍完备性、可分性、稠密性和紧性等性质，给出一般形式的ArzelaAscoli定理.第4章讲述线性算子的几个基本定理，简略介绍了两大类函数空间的共轭空间的表示.第5章从Hilbert空间的几何学出发讲述抽象空间的几何理论，介绍积空间与商空间技巧，给出紧算子性质与Fredholm算子指标理论.对弱紧性、凸性与光滑性作了详细论述，给出了Eberleinmulian定理.本书在注意加强基础理论讲解的同时，对理论与应用中重要的专题也作了初步介绍.第6章从Banach压缩映射原理与Brouwer不动点定理出发讲述不动点理论，作为应用，介绍了Lomonosov不变子空间定理.第7章讲述Banach代数与谱理论，通过符号演算介绍了谱分解定理.第8章讲述向量值函数与算子半群，介绍了算子半群的生成元表示定理.第9章讲述无界线性算子，给出了对称算子的延拓定理与本质谱的刻画.第6章至第9章中各章的内容基本是独立的，可根据不同的专业兴趣选学. 　　本书是根据作者的教学讲稿修订与扩充而成的，书中的错漏在所难免，殷切期望读者不吝指正! 　　本书的出版得到了南京信息工程大学精品教材项目的资助，同时还得到了国家气象局与南京信息工程大学局校共建项目的资助，作者表示衷心的感谢. 　　在本书编写过程中，朱杏华、陆盈、刘小燕、熊萍萍等老师参与了原始讲稿的整理录入工作，作者的研究生孙晶、黄轩、陶媛等以及南京信息工程大学应用数学专业2007级全体研究生参与了原始讲稿的录入工作，作者对他们付出的辛勤劳动一并表示衷心的感谢. 　　作者特别感谢清华大学出版社对本书的出版所给予的支持与帮助，感谢石磊先生付出的辛劳！ 肖建中 李 刚 2008年11月20日于南京信息工程大学

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