安徽省江南十校2023-2024学年高一上学期12月分科诊断模拟联考数学试题

2023年“江南十校”高一分科诊断摸底联考数学试卷注意事项：1.本试卷总分为150分，数学考试总时间为120分钟；2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效；3.考生作答时，请将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置.第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求.1.下列关系中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合之间关系直接判断即可.【详解】对于A，为无理数，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，，C错误；对于D，由得：或，不是的子集，D错误.故选：A.2.设命题：，，则命题的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可知：命题的否定是：，.故选：D.3.“，”恒成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据恒成立求解，即可根据集合间的关系求解.【详解】若对，恒成立,则，故，由于是的真子集，所以符合题意，选项AB是既不充分也不必要条件，D是充要条件，故选：C4.已知实数，，则下列不等式一定成立是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由不等式性质可知A错误，利用特殊值代入可得BC不一定成立，根据不等式性质可证明D正确.【详解】由题意可知，但不一定成立，即不一定成立，A错误；不妨取，此时，即不一定成立，B错误；当时，显然，此时不一定成立，C错误；由可知，又，所以，即；即D正确.故选：D5.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（）A.9 B.8 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】由弧长比可得半径比，结合扇形面积公式求解.【详解】设，，则，则∴，故.故选：B6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义，得到函数为偶函数，且，即可求解.【详解】由函数，可得，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C、D项；又由，可排除B项，所以A符合题意.故选：A.7.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值，结合对数函数与指数函数的性质即可得解.【详解】因为，则，而，所以，所以，故.故选：B.8.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解法1：根据题意，利用对数的运算性质，把不等式化简为，令，结合一元二次不等式的解法，即可求解；解法2：根据题意，得到，设，得到为偶函数，求得关于对称，且在上单调递增，把不等式转化为，即可求解.【详解】解法1：由函数，则不等式，即为，可得，即，令，则，即，解得，即，解得，所以不等式的解集为.解法2：由函数，可得，设，则，所以函数为偶函数，即为偶函数，可得关于对称，且在上单调递增，所以不等式，即为，可得，即，解得，所以不等式的解集为.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的有（）A.是幂函数，且在单调递减，则B.的单调递增区间是C.的定义域为，则D.的值域是【答案】AD【解析】【分析】A由幂函数及其单调性求参数；B由复合函数的单调性和对数函数的性质求增区间；C根据定义域及二次函数性质求参数范围；D换元法及二次函数性质求值域.【详解】A：是幂函数，则，得或，又在单减，故，对；B：由复合函数单调性有且，所以单增区间是，错；C：定义域为，则或，错；D：令，则，对.故选：AD10.下列选项中，结果为正数的有（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据角的象限，分别求得其取值范围，结合正弦值与余弦的值关系，逐项判定，即可求解.【详解】由，可得，所以，所以A正确由，可得且，所以，，所以B正确，C错误；由，可得，所以，所以D错误.故选：AB.11.已知正数，满足，则（）A.的最小值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为10【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为为正数，A项，或（舍去），当时取等，故A正确；B项，，解得或（舍去），即，当且仅当时取等，故B错误；C项，，当且仅当时取等，故C正确；D项，，解得（负值舍去），当且仅当，时取等，故D正确.故选：ACD.12.高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家.他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉.高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则（）A.的值域是B.方程有无数组解C.是单调函数D.方程有3个根【答案】ABD【解析】【分析】根据高斯函数的定义，即可结合选项逐一求解.【详解】因为表示不超过的最大整数，设，则，则,，即的值域为,，故A正确．当，，且时,，所以，故B正确；当时，此时，故C错误；，当，则，当，则（不符合题意，舍去），当，则，当时，，故D正确，故选：ABD第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域是，则的定义域是__________.【答案】【解析】【分析】利用复合函数定义域求解.【详解】因为函数的定义域是，即，所以，若求函数的定义域，则有，解得，所以的定义域为.故答案为：.14.已知，则______.【答案】1012【解析】【分析】根据题意，令，求得，代入计算，即可得到结果.【详解】令，则，所以故答案为：15.若对恒成立，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】构造函数，根据恒成立得到，，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】令，对恒成立，则，即得，故，又，故（当且仅当时取等），所以的最大值为.故答案为：.16.已知若有六个根，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】令，则，作出函数图象，转化为在上有两解，列出不等式组，即可求解.【详解】令，则，作出函数的图象，如图所示，设函数的零点分别为，由图象知，要使得有六个根，转化为在上有两解，则满足，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，且为第二象限角（1）求，；（2）求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系，由正切值求正弦值和余弦值；（2）利用诱导公式化简求值.【小问1详解】由得，代入得，又为第二象限角，得，【小问2详解】由诱导公式，有.18.已知集合，集合（1）若，求和；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据补集、交集、并集的定义进行求解即可；（2）根据集合交集的运算性质，结合分类讨论思想进行求解即可.小问1详解】当时，，所以，或，所以.【小问2详解】当时，即，即，满足；当时，即，由得或，解得或；综上，.19.已知函数是上的奇函数（1）求，的值；（2）判断并证明在上的单调性.【答案】（1），（2）是上单调递增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由函数单调性的定义证明即可.【小问1详解】由是上的奇函数，所以，得又恒成立，所以，即，【小问2详解】是上的递增函数证明如下：由（1）知，，在上任取，，不妨令，则，因为，所以，所以，所以是上单调递增函数20.某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约21元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）（1）写出单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元【解析】【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出的最大值.【小问1详解】由题意可知，，【小问2详解】当时，，对称轴，则在上单调递减，在上单调递增，所以的最大值为，当时，，当，即时取等号，有最大值540元，因为，所以当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元.21.已知定义在上的函数满足，（1）求，并证明为奇函数；（2）若是上的单调递增函数，且，解不等式：.【答案】（1），证明见解析（2）【解析】【分析】（1）赋值法求出，再由奇偶函数定义证明奇偶性即可；（2）根据抽象函数性质化简，再由单调性脱去“”，解一元二次不等式即可得解.【小问1详解】令，得，定义域为，关于原点对称，令，得，所以,即，所以奇函数.【小问2详解】因为，所以原不等式等价于，又，所以，，即，又是上的递增函数，所以，解得或，原不等式的解集为.22.若在上的值域是的子集，则称函数在上是封闭的.（1）若在上是封闭的，求实数的取值范围；（2）若在上是封闭的，求实数的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据新定义，即求二次函数在上的值域，利用分类讨论思想可得结果；（2）根据新的定义，即求二次函数在上的值域，利用分类讨论思想建立不等关系可得结果.【小问1详解】函数开口向上，对称轴是，当时，，因为在上是封闭的，则有，解得；当时，在上为减函数，则有，解得，又，故无解；综上，的取值范围是【小问2详解】函数开口向上，对称轴是，当时，，因为在上是封闭的，则有，解得，依题意有，解得，所以，当时，在上为减函数，则有，所以，即（舍去）综上，的最大值是.